Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是，且经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，直线l：y=kx+t（k≠0）经过A，C．

（1）求抛物线和直线l的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点P作PF⊥AC，垂足为F，当△PEF≌△AED时，求出点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，Q的坐标为：或或或或．

【解析】

（1）把点A、C的坐标和对称轴表达式代入二次函数表达式，即可求解；

（2）PEn2n+2n﹣2，DEn+2，sin∠EAD=sin∠CAO，，则AEDE（n+2），当△PEF≌△AED时，PE=AE，n2﹣2n（n+2），即可求解；

（3）等腰三角形分A为顶角顶点、以C为顶角顶点、点Q为顶角顶点，三种情况分别求解即可．

（1）把点A、C的坐标和对称轴表达式代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2x+2；

同理把点A、C坐标代入直线l表达式并解得：yx+2；

（2）设P点坐标为（n，n2n+2），∴E点坐标为（n，n+2），∴PEn2n+2n﹣2，DEn+2．

∵A（﹣4，0），C（0，2），OA=4，OC=2，AC=2．

∵PD⊥x轴于点D，∴∠ADE=90°，∴sin∠EAD=sin∠CAO，，∴AEDE（n+2），当△PEF≌△AED时，PE=AE，n2﹣2n（n+2），解得：n=﹣4或（舍去﹣4），∴n=，∴P（，）；

（3）存在，理由如下：

①以A为顶角顶点，AQ=AC，由（2）知AC=2，若设对称轴与x轴交于点G，则AG（﹣4）；

GQ1=GQ2，故点Q1、Q2的坐标分别为（，）、（，）；

②以C为顶角顶点，CQ=CA=2，过点C作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点M，则M（，2），则CM，MQ3，Q3G=2，Q4G=﹣2，故Q3、Q4坐标分别为（，2）、（，2）；

③以点Q为顶角顶点时，同理可得点Q5（，0）；

故点Q的坐标为：（，）或（，）或（，2）或（，2）或（，0）．