【题目】如图1,抛物线与x轴交于A,B,与y轴交于C,抛物线的顶点为D,直线l过C交x轴于E(4,0).
(1)写出D的坐标和直线l的解析式;
(2)P(x,y)是线段BD上的动点(不与B,D重合),PF⊥x轴于F,设四边形OFPC的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求S的最大值;
(3)点Q在x轴的正半轴上运动,过Q作y轴的平行线,交直线l于M,交抛物线于N,连接CN,将△CMN沿CN翻转,M的对应点为M′.在图2中探究:是否存在点Q,使得M′恰好落在y轴上?若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)D(1,4),;(2)S=(),S最大值为;(3)Q的坐标为(,0)或(4,0).
【解析】
试题分析:(1)先把抛物线解析式变成顶点式即可得到D点坐标,再求出C点坐标,然后利用待定系数法求直线l的解析式;
(2)先求出B(3,0),再求出直线BD的解析式为,则P(x,),根据梯形的面积公式可得S=(),再利用而此函数的性质求S的最大值;
(3)如图2,设Q(t,0)(t>0),则M(t,),N(t,),利用两点间的距离公式得到MN=,CM=,然后证明NM=CM得到=,再解方程求满足条件的t的值,从而得到点Q的坐标.
试题解析:(1)∵=,∴D(1,4),在中,当x=0时,y=3,则C(0,3),设直线l的解析式为,把C(0,3),E(4,0)分别代入得:,解得:,∴直线l的解析式为;
(2)如图(1),当y=0时,,解得,,则B(3,0),设直线BD的解析式为,把B(3,0),D(1,4)分别代入得:,解得:,∴直线BD的解析式为,则P(x,),∴S==(),∵S=,∴当x=时,S有最大值,最大值为;
(3)存在.
如图2,设Q(t,0)(t>0),则M(t,),N(t,),∴MN==,CM==,∵△CMN沿CN翻转,M的对应点为M′,M′落在y轴上,而QN∥y轴,∴MN∥CM′,NM=NM′,CM′=CM,∠CNM=∠CNM′,∴∠M′CN=∠CNM,∴∠M′CN=∠CNM′,∴CM′=NM′,∴NM=CM,∴=,
当=,解得t1=0(舍去),t2=4,此时Q点坐标为(4,0);
当=,解得t1=0(舍去),t2=,此时Q点坐标为(,0),
综上所述,点Q的坐标为(,0)或(4,0).
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【题目】如图,若直线AB与直线CD交于点O,OA平分∠COF,OE⊥CD.
(1)写出图中与∠EOB互余的角;
(2)若∠AOF=30°,求∠BOE和∠DOF的度数.
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【题目】在△ABC中,AB=AC=9cm,BC=6cm,D为BC的中点,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿B→A→C的路线运动到C停止.设运动时间为t,过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分,若其中一部分是另一部分的2倍,则此时t的值为 .
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【题目】在对某社会机构的调查中收集到以下数据,你认为最能够反映该机构年龄特征的统计量是( )
年龄 | 13 | 14 | 15 | 25 | 28 | 30 | 35 | 其他 |
人数 | 30 | 533 | 17 | 12 | 20 | 9 | 2 | 3 |
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 标准差
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【题目】当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时,可以得到一个等式.例如,由图1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2 .
(1)由图2,可得等式:
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知 a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;
(3)利用图3中的纸片(足够多),画出一种拼图,使该拼图可用来验证等式:2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b);
(4)小明用2 张边长为a 的正方形,3 张边长为b的正方形,5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形,那么该长方形较长的一条边长为
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【题目】小河两岸边各有一棵树,分别高30尺和20尺,两树的距离是50尺,每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然,两只鸟同时看见水面上游出一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,速度相同,并且同时到达目标.则这条鱼出现的地方离开比较高的树的距离为尺.
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