Question

9．若一元二次方程x²+ax+b=0的两根为整数，且两根的平方和为2009，则这种方程有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 4个
• D． 8个

Answer 1

分析 设方程的两整数根为α、β，则α²+β²=2009，根据“若两个整数的和为奇数，则两个整数一奇一偶”可得α、β一奇一偶，不妨设假设α=2m，β=2n+1，代入α²+β²=2009，整理得m²+n（n+1）=502，由n（n+1）是偶数可得m也是偶数，可设m=2p，则有2p²+$\frac{1}{2}$n（n+1）=251，可得$\frac{1}{2}$n（n+1）是奇数，只需分n=4q+2和n=4q+1进行讨论，即可得到α、β的值，问题得以解决．

解答 解：设方程的两整数根为α、β，则α²+β²=2009，
由2009是奇数可得α、β一奇一偶，
不妨设假设α=2m，β=2n+1（其中m，n为整数），
则有m²+n²+n=502，即m²+n（n+1）=502，
由n（n+1）是偶数可得m是偶数，
可设m=2p，代入得：2p²+$\frac{1}{2}$n（n+1）=251，
则$\frac{1}{2}$n（n+1）必是奇数，
可设n=4q+2或n=4q+1（其中q为整数），
①当α，β均为正整数时，p、q均为非负整数，
若n=4q+2，则有p²+4q²+5q=124，q取任意非负整数时，p都不是整数；
若n=4q+1时，则有p²+4q²+3q=125，仅当q=4时，p=7，
此时α=2m=4p=28，β=2n+1=2（4q+1）+1=35．
同理：②α，β均为负整数时，α=-28，β=-35；
③当α为正整数，β为负整数时，α=28，β=-35；
④当α为负整数，β为正整数时，α=-28，β=35．
故选C．

点评 本题主要了考查了奇数与偶数、带余除法等知识，在解决问题的过程中用到了“若两个整数的和为奇数，则两个整数一奇一偶”，“两个连续的整数的积为偶数”等重要的结论，另外，还用到了分类讨论的数学思想．