Question

4．如图1，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）将点D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得到D（3，4），得到CD∥x轴，由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，根据等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；再关于直线的对称点的性质即可求解；
 （3）根据待定系数法可求直线BC的解析式，再根据三角形面积公式和二次函数的最值即可求解；
（4）根据抛物线y=-x²+3x+4的顶点坐标得到E$（\frac{3}{2}，\frac{25}{4}）$，直线BC：y=-x+4；当$x=\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{3}{2}$+4=$\frac{5}{2}$，可得$F（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，根据两点间的距离公式可得$EF=\frac{15}{4}$，如图3，过点M作MN∥EF，交抛物线于点N，设N（x，-x²+3x+4），则M（x，-x+4）；则MN=|（-x²+3x+4）-（-x+4）|=|-x²+4x|；当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，则|-x²+4x|=$\frac{15}{4}$，解方程可求点N的坐标．

解答 解：（1）依题意，有：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式：y=-x²+3x+4．              
（2）将点D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得：-m²+3m+4=m+1，
化简，得：m²-2m-3=0，
解得：m₁=-1（舍），m₂=3；
∴D（3，4），
∴CD∥x轴；
由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；
设点D关于直线BC的对称点为点E，则点E在y轴上，且CD=CE=3，OE=OC-CE=1，则：
点D关于直线BC的对称点的坐标为（0，1）．       
（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=-x+4；
如图2，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，-x²+3x+4），则Q（x，-x+4）；
则PQ=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x；
S_△PCB=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-x²+4x）×4=-2（x-2）²+8；
所以，当P（2，6）时，△PCB的面积最大．         
（4）存在．
抛物线y=-x²+3x+4的顶点坐标E$（\frac{3}{2}，\frac{25}{4}）$，
直线BC：y=-x+4；当$x=\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{3}{2}$+4=$\frac{5}{2}$，
则$F（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，
则$EF=\frac{15}{4}$，
如图3，过点M作MN∥EF，交抛物线于点N，设N（x，-x²+3x+4），则M（x，-x+4）；
则MN=|（-x²+3x+4）-（-x+4）|=|-x²+4x|；
当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，
则|-x²+4x|=$\frac{15}{4}$
由$-{x^2}+4x=\frac{15}{4}$，解得${x_1}=\frac{5}{2}，{x_2}=\frac{3}{2}$（不合题意，舍去），$当x=\frac{5}{2}时，y=-{（\frac{5}{2}）^2}+3×\frac{5}{2}+4=\frac{21}{4}$，
则${N_1}（\frac{5}{2}，\frac{21}{4}）$，
由$-{x^2}+4x=-\frac{15}{4}$，解得${x_1}=2+\frac{1}{2}\sqrt{31}，{x_2}=2-\frac{1}{2}\sqrt{31}$，
则N₂（$2+\frac{1}{2}\sqrt{31}，-\frac{7}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{31}$）；N₃（2-$\frac{1}{2}$$\sqrt{37}$，-$\frac{7}{4}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{37}$）；
综上所述，存在平行四边形，点N的坐标为${N_1}（\frac{5}{2}，\frac{21}{4}）$，N₂（$2+\frac{1}{2}\sqrt{31}，-\frac{7}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{31}$）；N₃（2-$\frac{1}{2}$$\sqrt{37}$，-$\frac{7}{4}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{37}$）．

点评 考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，关于直线的对称点的性质，待定系数法求直线B解析式，三角形面积公式，二次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，平行四边形的性质等知识点，以及方程思想，分类思想的应用，综合性较强，难度较大．