Question

1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点P是第一象限内直线y=6-x上一点，O是坐标原点．
（1）设P（x，y），求△OPA的面积S与x的函数解析式；
（2）当S=10时，求P点的坐标；
（3）在直线上y=6-x求一点P，使△POA是以OA为底边的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）过P作PB垂直于x轴，把P坐标代入直线y=6-x，表示出y，进而表示出PB，由A的坐标确定出OA的长，确定出△OPA的面积S与x的函数解析式即可；
（2）把S=10代入S与x的函数解析式，求出x的值，即可确定出此时P的坐标；
（3）作线段OA的垂直平分线，交直线y=6-x于点P，连接OP，AP，△POA是以OA为底边的等腰三角形，把x=2代入直线y=6-x求出y的值，即可求出此时P的坐标．

解答 解：（1）过P作PB⊥x轴，交x轴于点B，如图1所示，

∵P（x，y），且P在直线y=6-x上，
∴y=6-x，即P（x，6-x），
∴PB=6-x，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴△OPA的面积S与x的函数解析式为S=$\frac{1}{2}$OA•PB=2（6-x）=12-2x；
（2）当S=10时，12-2x=10，
解得：x=1，
此时P坐标为（1，5）；
（3）作线段OA的垂直平分线，交直线y=6-x于点P，连接OP，AP，如图2所示，△POA是以OA为底边的等腰三角形，

把x=2代入直线y=6-x得：y=6-2=4，此时P坐标为（2，4）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，三角形的面积求法，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．