Question

如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，AC平分∠BAD，CD⊥AD于D，AD交⊙O于E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为8cm，CD=2cm，求弦AE的长．

　

Answer 1

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和角平分线得出∠2=∠3，证出∴OC∥AD，再由已知条件得出CD⊥OC，即可得出结论；

（2）作OF⊥AE于F，则AF=AE，四边形OFDC是矩形，得出OF=CD=2cm，由勾股定理求出AF，即可得出AE的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

∴CD为⊙O的切线；

（2）解：作OF⊥AE于F，如图2所示：

则AF=AE，四边形OFDC是矩形，

∴OF=CD=2cm，

∵OA=AB=4cm，

∴AF===2，

∴AE=2AF=4．

【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和垂径定理是解决问题的关键．