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【题目】如图,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.

(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若∠PAC=90°,AB=2 ,求PD的长.

【答案】
(1)

证明:∵∠ABC=∠APC,∠BAC=∠BPC,∠APC=∠CPB=60°,

∴∠ABC=∠BAC=60°,

∴△ABC是等边三角形


(2)

解:∵△ABC是等边三角形,AB=2

∴AC=BC=AB=2 ,∠ACB=60°.

在Rt△PAC中,∠PAC=90°,∠APC=60°,AC=2

∴AP=ACcot∠APC=2.

在Rt△DAC中,∠DAC=90°,AC=2 ,∠ACD=60°,

∴AD=ACtan∠ACD=6.

∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4


【解析】(1)由圆周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°,从而可证得△ABC是等边三角形;(2)由△ABC是等边三角形可得出“AC=BC=AB=2 ,∠ACB=60°”,在直角三角形PAC和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度,二者作差即可得出结论.本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质以及特殊角的三角函数值,解题的关键是:(1)找出三角形内两角都为60°;(2)通过解直角三角形求出线段AD和AP得长度.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,通过解直角三角形找出各边长度,再根据边与边之间的关系求出结论即可.

练习册系列答案
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A.
B.2
C.
D.

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