【题目】如图,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若∠PAC=90°,AB=2 ,求PD的长.
【答案】
(1)
证明:∵∠ABC=∠APC,∠BAC=∠BPC,∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形
(2)
解:∵△ABC是等边三角形,AB=2 ,
∴AC=BC=AB=2 ,∠ACB=60°.
在Rt△PAC中,∠PAC=90°,∠APC=60°,AC=2 ,
∴AP=ACcot∠APC=2.
在Rt△DAC中,∠DAC=90°,AC=2 ,∠ACD=60°,
∴AD=ACtan∠ACD=6.
∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4
【解析】(1)由圆周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°,从而可证得△ABC是等边三角形;(2)由△ABC是等边三角形可得出“AC=BC=AB=2 ,∠ACB=60°”,在直角三角形PAC和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度,二者作差即可得出结论.本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质以及特殊角的三角函数值,解题的关键是:(1)找出三角形内两角都为60°;(2)通过解直角三角形求出线段AD和AP得长度.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,通过解直角三角形找出各边长度,再根据边与边之间的关系求出结论即可.
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【题目】如图,在ABCD中,已知AD>AB.
(1)实践与操作:作∠BAD的平分线交BC于点E,在AD上截取AF=AB,连接EF;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)猜想并证明:猜想四边形ABEF的形状,并给予证明.
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【题目】如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=6 ,∠BAD=60°,且AB>6 .
(1)求∠EPF的大小;
(2)若AP=10,求AE+AF的值;
(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.
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【题目】如图,直线y=﹣x+5与双曲线y= (x>0)相交于A,B两点,与x轴相交于C点,△BOC的面积是 .若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位,则所得直线与双曲线y= (x>0)的交点有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.0个,或1个,或2个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2 , 再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3 , 以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是 .
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【题目】如图,O是△ABC内一点,⊙O与BC相交于F、G两点,且与AB、AC分别相切于点D、E,DE∥BC,连接DF、EG.
(1)求证:AB=AC.
(2)已知AB=10,BC=12,求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点,与y轴相交于(0, ),点A坐标为(﹣1,2),点B是点A关于y轴的对称点,点C在x轴的正半轴上.
(1)求该抛物线的函数关系表达式.
(2)点F为线段AC上一动点,过F作FE⊥x轴,FG⊥y轴,垂足分别为E、G,当四边形OEFG为正方形时,求出F点的坐标.
(3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,当点E和点C重合时停止运动,设平移的距离为t,正方形的边EF与AC交于点M,DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在请说明理由.
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