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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称

(1)填空:点B的坐标是

(2)过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC,求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;

(3)在(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.

【答案】(1)(0,);(2)点P在抛物线上,理由详见解析;(3)P点坐标为(,1).

【解析】

试题分析:(1)由抛物线解析式可求得点A坐标,再利用对称可求得B点坐标;(2)可先用k表示出C点坐标,过B作BD⊥l于点D,条件可知P点在x轴上方,设P点纵坐标为y,可表示出PD、PB的长,在Rt△PBD中,利用勾股定理可求得y,则可求出PB的长,此时可得出P点坐标,代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上;(3)利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,则可求得OC的长,代入抛物线解析式可求得P点坐标.

试题解析:(1)∵抛物线y=x2+与y轴相交于点A,

∴A(0,),

∵点B与点O关于点A对称,

∴BA=OA=

∴OB=,即B点坐标为(0,),

故答案为:(0,);

(2)∵B点坐标为(0,),

∴直线解析式为y=kx+,令y=0可得kx+=0,解得x=﹣

∴OC=﹣

∵PB=PC,

∴点P只能在x轴上方,

如图1,过B作BD⊥l于点D,设PB=PC=m,

则BD=OC=﹣,CD=OB=

∴PD=PC﹣CD=m﹣

在Rt△PBD中,由勾股定理可得PB2=PD2+BD2

即m2=(m﹣2+(﹣2,解得m=+

∴PB=+

∴P点坐标为(﹣ +),

当x=﹣时,代入抛物线解析式可得y=+

∴点P在抛物线上;

(3)如图2,连接CC′,

∵l∥y轴,

∴∠OBC=∠PCB,

又PB=PC,

∴∠PCB=∠PBC,

∴∠PBC=∠OBC,

又C、C′关于BP对称,且C′在抛物线的对称轴上,即在y轴上,

∴∠PBC=∠PBC′,

∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,

在Rt△OBC中,OB=,则BC=1

∴OC=,即P点的横坐标为,代入抛物线解析式可得y=(2+=1,

∴P点坐标为(,1).

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1

2

3

4

5

6

成绩/分

95

88

90

93

88

92

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