【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称
(1)填空:点B的坐标是 ;
(2)过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC,求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.
【答案】(1)(0,);(2)点P在抛物线上,理由详见解析;(3)P点坐标为(,1).
【解析】
试题分析:(1)由抛物线解析式可求得点A的坐标,再利用对称可求得B点坐标;(2)可先用k表示出C点坐标,过B作BD⊥l于点D,条件可知P点在x轴上方,设P点纵坐标为y,可表示出PD、PB的长,在Rt△PBD中,利用勾股定理可求得y,则可求出PB的长,此时可得出P点坐标,代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上;(3)利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,则可求得OC的长,代入抛物线解析式可求得P点坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=x2+与y轴相交于点A,
∴A(0,),
∵点B与点O关于点A对称,
∴BA=OA=,
∴OB=,即B点坐标为(0,),
故答案为:(0,);
(2)∵B点坐标为(0,),
∴直线解析式为y=kx+,令y=0可得kx+=0,解得x=﹣,
∴OC=﹣,
∵PB=PC,
∴点P只能在x轴上方,
如图1,过B作BD⊥l于点D,设PB=PC=m,
则BD=OC=﹣,CD=OB=,
∴PD=PC﹣CD=m﹣,
在Rt△PBD中,由勾股定理可得PB2=PD2+BD2,
即m2=(m﹣)2+(﹣)2,解得m=+,
∴PB=+,
∴P点坐标为(﹣, +),
当x=﹣时,代入抛物线解析式可得y=+,
∴点P在抛物线上;
(3)如图2,连接CC′,
∵l∥y轴,
∴∠OBC=∠PCB,
又PB=PC,
∴∠PCB=∠PBC,
∴∠PBC=∠OBC,
又C、C′关于BP对称,且C′在抛物线的对称轴上,即在y轴上,
∴∠PBC=∠PBC′,
∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°,
在Rt△OBC中,OB=,则BC=1
∴OC=,即P点的横坐标为,代入抛物线解析式可得y=()2+=1,
∴P点坐标为(,1).
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【题目】李老师给同学们布置了以下解方程的作业,作业要求是无实数根的方程不用解,不用解的方程是( )
A.x2﹣x=0B.x2+x=0C.x2+x﹣1=0D.x2+1=0
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.
(1)求证:MH为⊙O的切线.
(2)若MH=,tan∠ABC=,求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.
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【题目】在学校开展的“爱我中华”的一次演讲比赛中,编号1,2,3,4,5,6的五位同学最后成绩如表所示.那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是( )
参赛者编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
成绩/分 | 95 | 88 | 90 | 93 | 88 | 92 |
A. 92,88 B. 88,90 C. 88,92 D. 88,91
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【题目】下列命题中,是真命题的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.对角形相等的四边形是矩形
C.顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是平行四边形D.一组邻边相等的平行四边形是正方形
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