Question

【题目】如果一个三位正整数A与另一个三位正整数B相加得到三位数C，C的三个数位上的数字都相同，我们就称三位正整数A和三位正整数B互为“影子数”如：191+253＝444，191+475＝666…，所以191和253互为“影子数”，同时191和475也互为“影子数”，475和253都是191的“影子数”．

（1）若一个三位正整数M是67的倍数，它比它的一个“影子数”小107，求这个三位数M；

（2）若将一个三位正整数的十位和百位交换位置后组成的三位数是，且是的“影子数”，若﹣＝540，求证：b＝c+3．

Answer 1

【答案】（1）335；（2）见解析

【解析】

（1）因为这个数与它的影子数之和最大为999，而影子数比它大107，所以可以判断出来这个数不能超过446，所以67的倍数关系应该不超过402，将大于100而小于402的67的倍数逐一进行判断即可．

（2）根据“影子数”的定义求出a、b、c之间的关系式代入题中给定的等式求出．

解；（1）∵这个数与它的影子数之和最大为999，而影子数比它大107，

∴可以判断出来这个数不能超过 ，

又∵M是67的倍数，M为三位数

∴M是大于100且不超过402的67的倍数

故M= 134或201或268或335或402

∴当M=134时，M+107=134+107=241，故2M+107=375，不符合题意，

当M=201时，M+107=201+107=308，故2M+107=509，不符合题意，

当M=268时，M+107=268+107=375，故2M+107=643不符合题意，

当M=335时，M+107=335+107=442，故2M+107=777，符合题意，

当M=402时，M+107=402+107=509，故2M+107=911，不符合题意，

∴M为335．

（2）证明：∵和互为影子数，所以a＝2c﹣b，

∵﹣＝540，

∴100b+10（2c﹣b）+c＝540+100（2c﹣b）+10b+c，

∴180b﹣180c＝180（b-c）=540，

∴b﹣c＝3，

∴b＝c+3．