[题目]已知 C 是线段 AB 垂直平分线 m 上一动点,连接 AC,以 AC 为边作等边△ACD,点 D 在直线 AB 的上方,连接 DB 与直线 m 交于点 E,连接 BC(1)如图 1,点 C 在线段 AB 上①根据题意补全图 1;②求证:∠EAC=∠EDC;(2)如图 2,点 C 在直线 AB 的上方,0°＜∠CAB＜30°,用等式表示线段 BE.CE.DE 之间的数量关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知 C 是线段 AB 垂直平分线 m 上一动点,连接 AC,以 AC 为边作等边△ACD,点 D 在直线 AB 的上方,连接 DB 与直线 m 交于点 E,连接 BC

(1)如图 1,点 C 在线段 AB 上

①根据题意补全图 1;

②求证:∠EAC=∠EDC;

(2)如图 2,点 C 在直线 AB 的上方,0°＜∠CAB＜30°,用等式表示线段 BE、CE、DE 之间的数量关系,并证明.

【答案】（1）①作图见解析；②证明见解析；（2）EB=EC+ED，证明见解析.

【解析】

（1）①根据题意画出图形即可；

②只要证明CA=CD=CB，利用等腰三角形的性质即可解决问题；

（2）如图2中，结论：EB=EC+ED．设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH=ED．只要证明△ADH≌△CDE（SAS），EA=EB即可解决问题；

（1）①根据题意补全图1，如图所示．

②证明：∵直线m是线段AB的垂直平分线，

∴AC=BC，EA=EB，

∴∠EAC=∠EBC．

∵△ACD为等边三角形，

∴CD=AC=BC，

∴∠EDC=∠EBC，

∴∠EAC=∠EDC．

（2）如图2中，结论：EB=EC+ED．

理由：设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH=ED，连接CB．

∵△ADC是等边三角形，

∴DA=DC=AC，∠ADC=∠DCA=60°，

∵直线m垂直平分线段AB，

∴CA=CB=CD，

∴∠CDB=∠CBE，

∵EA=EB，CA=CB，

∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA，

∴∠EAC=∠EBC，

∴∠JDE=∠JAC，

∵∠DJE=∠AJC，

∴∠DEJ=∠JCA=60°，

∵ED=EH，

∴△DEH是等边三角形，

∴∠ADJ=∠HDE，DH=DE，

∴∠ADH=∠CDE，

在△ADH和△CDE中

∵

∴△ADH≌△CDE（SAS），

∴AH=EC，

∴EA=EH+AH=DE+EC，

∵直线m垂直平分线段AB，

∴EA=EB，

∴EB=EC+ED．

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