Question

已知二次函数y=x²-mx+m-2．
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若该二次函数的图象过点（-1，3）．
①求该二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标；
②在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
③直接写出，当y＜0时x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x²-mx+m-2=0，根据该一元二次方程的根的判别式△=m²-4（m-2）的符号来证明二次函数y=x²-mx+m-2的图象与x轴都有两个交点；
（2）①把点（-1，3）代入二次函数解析式y=x²-mx+m-2列出关于m的方程，通过解方程即可求得m的值；然后利用配方法将所求的二次函数解析式转化为顶点式解析式；
②根据抛物线与坐标轴的交点、顶点坐标，在平面直角坐标系中画出图形；
③根据图象直接写出x的取值范围．
解答：（1）证明：∵△=m²-4（m-2）=m²-4m+4+4=（m-2）²+4≥4＞0，
∴x²-mx+m-2=0一定有两个不等的实数解，
∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2）解：①把x=-1，y=3，代入y=x²-mx+m-2，解得m=2，
则二次函数的关系式为y=x²-2x．
配方得y=（x-1）²-1，所以，顶点坐标为（1，-1）．  
②根据抛物线解析式y=x²-2x=x²-2x知，该图象与坐标轴轴的交点是（0，0），（0，2），顶点坐标是（1，-1）．所以其图象如图所示：
；

③根据②中的图象知，当y＜0时，x的取值范围为：0＜x＜2．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质与图象，待定系数法求二次函数解析式等．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．