Question

【题目】如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．

(1)求证：∠BAD=∠PCB；

(2)求证：BG//CD；

(3)设△ABC外接圆的圆心为O，连接OD，OH，若弦BC的长等于圆的半径，∠COD＝20°，求∠OHD的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）70

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）由（1）得∠BAD=∠PCB，结合等腰三角形的性质及同弧所对的圆周角相等可得∠BFD=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，根据圆周角定理得到AC是⊙O的直径，可证∠ADC=∠AGB=90°，即可得证；
（3）连接OB，由（2）可得点O在AC的中点.由弦BC的长等于圆的半可得三角形OBC为等边三角形，∠OCB=60°，则∠BAC=30°，因为∠COD=20°，故可求得∠ODA=∠OAD=10°，则∠ADH=50°，求得∠ODH=40°，

由（2）可证四边形DHBC为平行四边形，所以DH=BC=OD，即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠OHD.

（1） ∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB；
（2）由（1）得∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；

（3）连接OB，由（2）可得：点O在AC的中点.

∵弦BC的长等于圆的半径

∴△OBC为等边三角形

∴∠OCB=60°

由（2）得：∠ABC=90°，

∴∠BAC=30°

∵∠COD=20°

∴∠ODA=∠OAD=∠COD=10°

∴∠ADE=90°-30°-10°=50°

∴∠ODH=∠ADH-∠ADO=40°

由（2）得：DF∥BC,BG∥CD

∴四边形DHBC为平行四边形

∴DH=BC=OD

∴∠OHD=