【题目】在中,
,
.点
是平面内不与点
,
重合的任意一点.连接
,将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
,连接
,
,
.
(1)观察猜想
如图1,当时,
的值是______,直线
与直线
相交所成的较小角的度数是____________.(提示:求角度时可考虑延长
交
的延长线于
)
(2)类比探究
如图2,当时,请写出
的值及直线
与直线
相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
当时,若点
,
分别是
,
的中点,点
在直线
上,请直接写出点
,
,
在同一直线上时
的值_______________.
【答案】(1),
;(2)
,理由见解析;(3)
,
【解析】
(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.证明△CAP≌△BAD(SAS),即可解决问题.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.证明△DAB∽△PAC,即可解决问题.
(3)分两种情形:①如图3﹣1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.利用直角三角形斜边上的中线的性质及等边对等角证得BH=BA,∠H=∠BAH,再根据四点共圆的知识求得∠DAC=∠DCA=22.5,证明AD=DC即可解决问题.
②如图3﹣2中,当点P在线段CD上时,根据三角形中位线的性质结合三线合一的性质证明DA=DC即可解决问题.
解:(1)如图1中,延长交
的延长线于
,设
交
于点
.
∵,
∴都是等边三角形,
∴,
∵,,
∴,
在和
中,
,
,
,
,
,
,
,线
与直线
相交所成的较小角的度数是
,
故答案为,
.
图1
(2)如图2中,设交
于点
,
交
于点
.
,
∵
,
∵,
,
,
,
∴.
,
,
直线
与直线
相交所成的小角的度数为
.
图2
(3),
如图3﹣1中,当点在线段
上时,延长
交
的延长线于
.
图3-1
∵点,
分别是
,
的中点,点
在直线
上,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
四点共圆,
,
,
,
,设
,则
,
,
.
如图3﹣2中,当点在线段
上时,设AB交CD于G,
∵点,
分别是
,
的中点,点
在直线
上,
∴点为CG中点,
∵AP⊥CG,
∴AC=AG, ∠ACD=∠AGC,
∵,
∴,设
,则
,
,
,
.
的值是
,
.
图3-2
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【题目】某玩具公司生产一种电子玩具,每只玩具的生产成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万只)与销售单价x(元)之间的关系可以近似的看作一次函数y=2x+100,设每月销售这种玩具的利润为w(万元).
(1)写出w与x之间的函数表达式;
(2)当销售单价为多少元时,公司每月获得的利润为440万元?
(3)如果公司每月的生产成本不超过540万元,那么当销售单价为多少元时,公司每月获得的利润最大?最大利润为多少万元?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=2cm,动点M自点A出发沿A→B的方向,以每秒1cm的速度运动,同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm的速度运动,当点N到达点C时,两点同时停止运动,设运动时间为x(秒),△AMN的面积为y(cm2),则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌,已知该羊肚菌的成本是12元/千克,规定销售价格不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天该羊肚菌的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)的函数关系如下图所示:
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值;
(3)若该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学,且保证每天的销售利润不低于3600元,问该羊肚菌销售价格该如何确定.
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【题目】如图,D是△ABC外接圆上的点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.
(1)求证:∠BAD=∠PCB;
(2)求证:BG//CD;
(3)设△ABC外接圆的圆心为O,连接OD,OH,若弦BC的长等于圆的半径,∠COD=20°,求∠OHD的度数.
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【题目】如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标.
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【题目】在一个不透明的布袋里装有四个标号为1,2,3,4的小球,它们的形状、大小、质地完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球,记下小球上的数字,这个数字作为横坐标x,再把这个小球放回不透明的布袋里搅匀,小红从布袋里随机取出一个小球,记下小球上的数字,这个数字作为纵坐标y,这样确定了一个点Q的坐标(x,y).
(1)请用画树形图或列表法,写出点Q所有可能的坐标;
(2)小明和小红约定做一个游戏,其规则为:若x、y满足xy≥6,则小明胜,若x、y满足xy<6,则小红胜,这个游戏公平吗?请说明理由.
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