Question

5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a-1）x²+2x+1与x轴有交点，a为正整数．
（1）求a的值．
（2）将二次函数y=（a-1）x²+2x+1的图象向右平移m个单位，向下平移m²+1个单位，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=（a-1）x²+2x+1与x轴有交点，令y=0，则（a-1）x²+2x+1=0，△≥0，求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值；
（2）根据（1）中a的值得出二次函数的表达式，根据二次函数平移的性质得出其顶点坐标，再由二次函数有最小值-3即可得出结论．

解答 解：（1）∵二次函数y=（a-1）x²+2x+1与x轴有交点，
令y=0，则（a-1）x²+2x+1=0，
∴△=4-4（a-1）≥0，解得a≤2．
∵a为正整数，
∴a=1、2
又∵y=（a-1）x²+2x+1是二次函数，∴a-1≠0，∴a≠1，
∴a的值为2．

（2）∵a=2，
∴二次函数表达式为y=x²+2x+1，将二次函数y=x²+2x+1化成顶点式y=（x+1）²，二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m²+1个单位后的表达式为y=（x+1-m）²-（m²+1）．此时函数的顶点坐标为（m-1，-m²-1）．
当m-1＜-2，即m＜-1时，x=-2时，二次函数有最小值-3，
∴-3=（-1-m）²-（m²+1），解得m=-$\frac{3}{2}$且符合题目要求．
当-2≤m-1≤1，即-1≤m≤2，时，当 x=m-1时，二次函数有最小值-m²-1=-3，
解得m=±$\sqrt{2}$．
∵m=-$\sqrt{2}$不符合-1≤m≤2的条件，舍去．
∴m=$\sqrt{2}$．
当m-1＞1，即m＞2时，当 x=1时，二次函数有最小值-3，
∴-3=（2-m）²-（m²+1），解得m=$\frac{3}{2}$，不符合m＞2的条件舍去．
综上所述，m的值为-$\frac{3}{2}$或$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与x轴的交点与△的关系是解答此题的关键．