Question

9．如图，在y轴的正半轴上，自O点开始依次间隔相等的距离取点A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n，分别过这些点作y轴的垂线，与反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）的图象相交于点P₁，P₂，P₃，P₄，…，P_n，作P₂B₁⊥A₁P₁，P₃B₂⊥A₂P₂，P₄B₃⊥A₃P₃，…，P_nB_n-1⊥A_n-1P_n-1，垂足分别为B₁，B₂，B₃，B₄，…，B_n-1，连接P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_n-1P_n，得到一组Rt△P₁B₁P₂，Rt△P₂B₂P₃，Rt△P₃B₃P₄，…，Rt△P_n-1B_n-1P_n，它们的面积分别记为S₁，S₂，S₃，…，S_n-1，则S₁+S₂=$\frac{2}{3}$，S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=$\frac{n-1}{n}$．

Answer 1

分析 设OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-2A_n-1=a，根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到S₁=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{a}$），S₂=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{1}{a}$-$\frac{2}{3a}$），S₃=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{3a}$-$\frac{2}{4a}$），由此得出S_n-1=$\frac{1}{2}$×a×[$\frac{2}{（n-1）a}$-$\frac{2}{na}$]，再代入计算即可．

解答 解：设OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-2A_n-1=a，
∵y=a时，x=-$\frac{2}{a}$，∴P₁的坐标为（-$\frac{2}{a}$，a），
∵y=2a时，x=-$\frac{1}{a}$，∴P₂的坐标为（-$\frac{1}{a}$，2a），
∴Rt△P₁B₁P₂的面积=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{a}$），
Rt△P₂B₂P₃的面积=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{1}{a}$-$\frac{2}{3a}$），
Rt△P₃B₃P₄的面积=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{3a}$-$\frac{2}{4a}$），
…，
∴△P_n-1B_n-1P_n的面积=$\frac{1}{2}$×a×[$\frac{2}{（n-1）a}$-$\frac{2}{na}$]，
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{a}$）+$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{1}{a}$-$\frac{2}{3a}$）=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{3a}$）=$\frac{2}{3}$，
S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{a}$）+$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{1}{a}$-$\frac{2}{3a}$）+$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{3a}$-$\frac{2}{4a}$）+…+$\frac{1}{2}$×a×[$\frac{2}{（n-1）a}$-$\frac{2}{na}$]
=$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{na}$）=$\frac{n-1}{n}$．
故答案为$\frac{2}{3}$，$\frac{n-1}{n}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式，有一定难度．求出S_n-1的表达式是解题的关键．