Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，∠ABD的平分线交AD于点E，∠CAD的平分线交CD于点F，连接EF．求证：EF∥AC．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：根据角平分线定理得到

AE

DE

=

BA

BD

和

CF

DF

=

AC

AD

，再证明Rt△ABD∽Rt△CAD得到

BA

AC

=

BD

AD

，利用比例性质得

BA

BD

=

AC

AD

，则

AE

DE

=

CF

DF

，然后根据平行线分线段成比例定理的逆定理可得EF∥AC．

解答：解：∵∠ABD的平分线交AD于点E，
∴

AE

DE

=

BA

BD

，
∵∠CAD的平分线交CD于点F，
∴

CF

DF

=

AC

AD

，
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
而∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABD=∠CAD，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴

BA

AC

=

BD

AD

，
∴

BA

BD

=

AC

AD

，
∴

AE

DE

=

CF

DF

，
∴EF∥AC．

点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了角平分线定理和相似三角形的判定与性质．