Question

已知，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）设△AQP的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来．关键是高，可以用AP和∠A的正弦值来求．AP的长可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ边上的高后，就可以得出y与t的函数关系式．
（2）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（1）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．

解答：解：（1）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴

PC

BC

=

AP

AB

，
∴

PH

3

=

5-t

5

，
∴PH=3-

3

5

t，
∴y=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×2t×（3-

3

5

t）=-

3

5

t²+3t．

（2）不存在．
理由：∵若PQ把△ABC周长平分，
∴AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．
若PQ把△ABC面积平分，则S_△APQ=

1

2

S_△ABC，-

3

5

t²+3t=3．
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，此类问题是中考中常见的题目，在解答（2）时要注意进行分类讨论．