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【题目】如图,正方形ABCD和正方形CGFE的顶点CDE在同一条直线上,顶点BCG在同一条直线上.OEG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接FHEG于点M,连接OH.以下四个结论:GHBEEHM∽△GHF12,其中正确的结论是(  )

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

【答案】A

【解析】

由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,得出△BCE≌△DCG,推出∠BEC+HDE=90°,从而得GHBE;由GH是∠EGC的平分线,得出△BGH≌△EGH,再由OEG的中点,利用中位线定理,得HOBGHO=BG;由△EHG是直角三角形,因为OEG的中点,所以OH=OG=OE,得出点H在正方形CGFE的外接圆上,根据圆周角定理得出∠FHG=EHF=EGF=45°,∠HEG=HFG,从而证得△EHM∽△GHF;设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=bCD=2a,由HOBG,得出△DHN∽△DGC,即可得出,得到,即a2+2ab-b2=0,从而求得,设正方形ECGF的边长是2b,则EG=2b,得到HO=b,通过证得△MHO△MFE,得到,进而得到,进一步得到.

解:如图,

∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,

BCCDCECG,∠BCE=∠DCG

△BCE△DCG中,

∴△BCE≌△DCGSAS),

∴∠BEC=∠BGH

∵∠BGH+CDG90°,∠CDG=∠HDE

∴∠BEC+HDE90°

GHBE

故①正确;

∵△EHG是直角三角形,OEG的中点,

OHOGOE

∴点H在正方形CGFE的外接圆上,

EFFG

∴∠FHG=∠EHF=∠EGF45°,∠HEG=∠HFG

∴△EHM∽△GHF

故②正确;

∵△BGH≌△EGH

BHEH

又∵OEG的中点,

HOBG

∴△DHN∽△DGC

ECOH相交于点N

HNa,则BC2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NCbCD2a

a2+2abspan>b20

解得:ab=(﹣1+b,或a=(﹣1b(舍去),

故③正确;

∵△BGH≌△EGH

EGBG

HO△EBG的中位线,

HOBG

HOEG

设正方形ECGF的边长是2b

EG2b

HOb

OHBGCGEF

OHEF

∴△MHO△MFE

EMOM

EOGO

SHOESHOG

故④错误,

故选:A

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