Question

2．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC切⊙O于点C，AF⊥PC，垂足是点F，AF交⊙O于点E，PB=2，PC：OE=$\sqrt{3}$：1，
（1）求AC的长度；
（2）求CF•EF的值．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得OC⊥PC，设PC=$\sqrt{3}$x，OE=x，则OC=OB=x，根据勾股定理得到PO=2x，则x+2=2x，可解得x=2，于是得到PC=2$\sqrt{3}$，OC=2，OP=4，然后证明∠P=∠PAC=30°，从而得到AC=PC=2$\sqrt{3}$；
（2）连结CE，如图，先证明∠FAC=∠OCA=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，再证明∠FCE=30°，于是可计算出EF，然后计算CF与EF的乘积．

解答 解：（1）∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
设PC=$\sqrt{3}$x，OE=x，则OC=OB=x，
在Rt△POC中，PO=$\sqrt{{x}^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}}$=2x，
而OB+PB=OP，
∴x+2=2x，解得x=2，
∴PC=2$\sqrt{3}$，OC=2，OP=4，
∴∠P=30°，∠POC=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠POC=∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠P=∠PAC，
∴AC=PC=2$\sqrt{3}$；
（2）连结CE，如图，
∵AF⊥PF，OC⊥PF，
∴AF∥OC，
∴∠FAC=∠OCA=30°，
在Rt△AFC中，CF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵∠COF=2∠EAC=60°，
∴△OCE为等边三角形，
∴∠OCE=60°，
∴∠FCE=30°，
在Rt△CEF中，EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CF=1，
∴CF•EF=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是确定∠P为30°．