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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为菱形,且点D(40)x轴上,点B和点C(03)y轴上,反比例函数y(k≠0)过点A,点E(2m)、点F分别是反比例函数图象上的点,其中点F在第一象限,连结OEOF,以线段OEOF为邻边作平行四边形OEGF

(1)写出反比例函数的解析式;

(2)当点AOF在同一直线上时,求出点G的坐标;

(3)四边形OEGF周长是否有最小值?若存在,求出这个最值,并确定此时点F的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)(2)G的坐标为(2,﹣5)(3)F的坐标为(22)时,四边形OEGF周长最小,最小值为:4+4

【解析】

1)首先根据D点坐标,写出A点的横坐标,再计算CD的长,根据菱形的性质,可得A点的坐标,代入反比例函数,即可求得k的值,进而求得反比例函数的解析式.

2)首先将E点代入反比例函数,计算m,根据反比例函数的对称性,可得F点的坐标,再证明△ENO≌△FMG,故求得G点坐标.

3)设出F点的坐标,利用勾股定理列方程,利用二次函数求解.

解:(1)∵点D(40)x轴上,

A点横坐标为:﹣4

∵点C(03)y轴上,

DC5

∵四边形ABCD为菱形,

AD5

∴点A的坐标为(4,﹣5)

则解析式为:

(2)如图,∵x=﹣2时,y=﹣10

∴点E的坐标为(2,﹣10)

∵点AOF在同一直线上,

AF关于原点对称,

∴点F的坐标(45)

分别过点EFENx轴于点NFMGM于点MFM也垂直于x轴,

∵四边形OEGF是平行四边形,

EOFG

∴∠NOE=∠3

∵∠2=∠3=∠1

∴∠1=∠NOE

在△ENO和△FMG

∴△ENO≌△FMG(AAS)

设点G的坐标为(mn),则5n10m4=﹣2

n=﹣5m2

则点G的坐标为(2,﹣5)

(3)由于OE为定值,则只需求出OF的最小值即可,

设点F的坐标为(a)

根据勾股定理得,

显然当a=时,OF2最小,即a2时,OF最小,OF2

EO2

因此,当点F的坐标为(22)时,四边形OEGF周长最小,

最小值为:4+4

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