Question

【题目】如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点B，点C是⊙O上一点，连接CB并延长交直线l于点D，使AC=AD．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BD=2，OA=4，求线段BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，如图，根据等腰三角形的性质，由OB=OC，AC=AD得到∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，再由OA⊥l得∠ADC+∠ABD=90°，加上∠ABD=∠OBC，于是有∠OCB+∠ACD=90°，即∠ACO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）如图1，作直径BE，连接CE，设 O半径为r，则AB=OA-OB=4-r，根据勾股定理得AD2=BD2-AB2=12-（4-r）2，AC2=AO2-OC2=16-r2，由于AC=AD，则12-（4-r）2=16-r2，解得r=，再证明Rt△ABD∽Rt△CBE，然后利用相似比可计算出BC．

（1）证明：连接OC，如图，

∵OB=OC，AC=AD

∴∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，

∵OA⊥l，

∴∠ADC+∠ABD=90°，

而∠ABD=∠OBC，

∴∠OCB+∠ACD=90°，

∴∠ACO=90°

∴OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：如图1，作直径BE，连接CE，

设⊙O半径为r，则AB=OA﹣OB=4﹣r，

在Rt△ABD中，∵AD2=BD2﹣AB2=12﹣（4﹣r）2，

在Rt△AOC中，∵AC2=AO2﹣OC2=16﹣r2，

而AC=AD，

∴12﹣（4﹣r）2=16﹣r2，解得r=，

∵BE为⊙O直径，

∴∠BCE=90°，

又∵∠ABD=∠EBC，

∴Rt△ABD∽Rt△CBE，

∴，即，

∴BC=．