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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+cx轴交于点AB(1,0),与y轴交于点C,直线y=x﹣2经过A,C两点,抛物线的顶点为D.

(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标;

(2)在y轴上是否存在一点G,使得GD+GB的值最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAB是以AB为腰的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x﹣2;D( );(2)G(0, ),(3)P点坐标为( )或(,﹣).

【解析】试题分析:(1)先由直线y=x2x轴的交点求出A点和C点的坐标,再用待定系数法求出求抛物线解析式即可;

2作点B关于y轴的对称点B',连接BB',交y轴于点G,则B'﹣10),用待定系数法求出直线B'D的解析式,再求与y轴的交点坐标即可;

3)分AP=ABBP=AB=3两种情况求解.

解:(1)把x=0代入直线y=x﹣2中,y=﹣2,

C(0,﹣2),

y=0代入直线y=x﹣2中,x=4,

A(4,0),

A(4,0),B(1,0),C(0,﹣2)代入抛物线y=ax2+bx+c中得:

,解得:

∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x﹣2=﹣(x2﹣5x+)﹣2=﹣(x﹣2+

∴顶点D(),

(2)存在,

如图1,作点B关于y轴的对称点B',连接BB',交y轴于点G,则B'(﹣1,0),

设直线B'D的解析式为:y=kx+b,

,解得:

∴直线B'D的解析式为:y=x+

G(0,),

∴存在点G(0,),使得GD+GB的值最小;

(3)∵对称轴x=,且A(4,0),B(1,0),

P(,m),且AB=4﹣1=3,

分两种情况:

①当AP=AB=3时,即AP==3,

解得:m=±

②当BP=AB=3时,即BP==3,

解得:m=

综上所述,P点坐标为()或(,﹣).

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