Question

【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,经过点B的直线l(不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.

(1)如图1,当点E与点B重合时,若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由;

(2)如图2,当点E在DB延长线上时,求证:AE=2CD;

(3)记直线CE与直线AB相交于点F,若,,CD=4,求BD的长.

Answer 1

【答案】(1)以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切 (2)证明见解析(3) BD的长为2或8.

【解析】分析：

（1）如图1，过点C作CF⊥AB于点F，由已知条件易证此时四边形DBFC是正方形，由此可得CF=CD，从而可得此时以点C为圆心，CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切；

（2）如图2，延长AC交直线l于点G，由∠ACB=90°，∠ABC=∠GBC结合“三角形内角和定理”可得∠BAC=∠BGC，由此可得AB=GB，结合BC⊥AG可得AC=GC，由CD⊥l，AE⊥l可得CD∥AE，由此即可得到CD：AE=GC：GA=1：2，从而可得结论AE=2CD；

（3）如图3和图4，分点E在线段DB的延长线上和线段DB上两种情况作出符合要求的图形，并过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G，然后结合已知条件和（2）中所得结论进行分析计算即可.

详解：

(1)以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切,

理由如下：

如图1，过点C作CF⊥AB,垂足为点F，

∵CD⊥l，AB⊥l，CF⊥AB，

∴∠CDB=∠DBA=∠CFB=90°，

∴四边形DBFC是矩形，

∵∠ABD=90°，∠ABC=∠CBD，

∴ ∠ABC=∠CBD=45°,

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°,

∴ ∠BCF=∠ABC=45°，

∴CF=BF，

∴四边形DBFC是正方形，

∴CF=CD=2，

∴圆C与直线AB相切；

(2)如图2，延长AC交直线l于点G,

∵∠ACB=90°,∠ABC=∠GBC

∴∠BAC=∠BGC

∴ AB=GB

∴ AC=GC,

∵ AE⊥l，CD⊥l，

∴ AE∥CD

∴ ,

∴AE=2CD

(3)由题意分以下两种情况解答：

(I)如图3,当点E在DB延长线上时:

过点C作CG∥l交AB于点H,交AE于点G,则∠CBD=∠HCB,

∵∠ABC=∠CBD,

∴∠ABC=∠HCB,

∴CH=BH,

∵∠ACB=90°,

∴∠ABC+∠BAC=∠HCB+∠HCA=90°

∴∠BAC=∠HCA

∴CH=AH=BH,

∵CG∥l,

∴ ,

设CH=5x,则BE=6x,AB=10x

在Rt△ABE中,

由(2)知AE=2CD=8,

∴8x=8,得x=1

∴CH=5,BE=6,AB=10

∵ CG∥l,

∴ ,

∴HG=3,

∴CG=CH+HG=8,

∵四边形CDEG是矩形,

∴DE=CG=8

∴BD=DE-BE=2;

(Π)如图4,当点E在DB上时:

同理可得CH=5,BE=6,HG=3,

∴DE=CG=GH-HG=2

∴BD=DE+BE=8,

综上所述,BD的长为2或8.