Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线1分别交轴、轴于、两点，点的坐标为，，过点的直线与轴交于点．

(1)求直线的解析式及点的坐标．

(2) 点在轴上从点向点以每秒1个单位长的速度运动()，过点分别作，， 交、于点、，连接，点为的中点．

①判断四边形的形状并证明；

②求出t为何值时线段DG的长最短．

(3)点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为项点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①矩形；证明见解析②时，DG的长最短（3）存在；，，，，

【解析】

（1）根据有一个角为30°的直角三角形的性质，求出OB，再利用待定系数法即可求解；
（2）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断出四边形DEBF是矩形；②利用点到直线的距离中垂线短最短即可；
（3）设出点P（0，m）的坐标，先利用平行四边形的性质作出图形，求出点Q的坐标，再利用菱形的四边相等求出m即可．

（1）∵，

∴

又根据题意，

∴，

∴

设解析式为

代入，

得

∴的解析式：

∵在直线上，

∴，

∴：，

∵点C在x轴上，

∴

（2）如图：

①∵，，OA=1，

∴，（勾股定理），

∴，

∴，

又∵，，

∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行），

∴四边形为矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），

②∵四边形为矩形

∴（矩形对角线相等），

又因为为中点，

∴，即G为矩形对角线的交点，

要使DG最短，也就是DB最短，

∴只有BD⊥AC时，BD最短，

∴CD=3，

∴

（3）如图2，在坐标平面内是存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，证明如下：

设，，

∴直线AB的解析式为：，

作a∥BP，则直线a的解析式为：x=1，

作b∥AP，则直线b的解析式为：，

作c∥BA，则直线c的解析式为：，

以、、、为顶点的四边形为菱形，则为等腰三角形

①以AB为对角线时，有，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，即：，

∴，

∴，

∴；

② 以AB为边时，

情况1：AP为对角线时，

∵，，

∴或，

∵AB的解析式为：，

AP的解析式为：或者，

∵四边形APQB是菱形，

∴点Q过点A且PQ∥y轴的直线上，

∴或者，

情况2：以BP为对角线时，

∵

此时，

故存在4点，，，，；