Question

【题目】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；

（3）在（2）的条件下，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60，直接写出D点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3），

【解析】分析：（1）根据根的判别式，有两个不等的实根，根的判别式△=b2-4ac＞0列出关于k的不等式12+8k＞0，求解即可得到k的取值范围；

（2）利用（1）中k的取值范围求得k的整数解，然后将其代入关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0并整理，再根据配方法进行求解；

（3）先求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点，从而得到对称轴的解析式以及AB的长度，再根据∠DAB=60°求出点D到x轴的距离，然后根据点D在AB的上方与下方两种情况讨论得解．

详解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不等的实根，

∴△=（-4）2-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，

解得，k＞-；

（2）∵k取小于1的整数，

∴k=-1或0，

①当k=-1时，方程为x2-4x+3=0，

即（x-2）2=1，

∴x-2=1或x-2=-1，

解得x1=3，x2=1，

②当k=0时，方程为x2-4x+1=0，

即（x-2）2=3，

∵方程的解为整数，

∴k=0不符合，

∴k=-1，此时方程的两个整数根是x1=3，x2=1；

（3）如图所示，根据（2），二次函数解析式为，y=x2-4x+3，

∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），

∴对称轴为x=2，

∴AC=（3-1）=1，

∵∠DAB=60°，

∴AD=2AC=2，

∴CD=，

当点D在AB的上方时，坐标为（2，），在AB的下方时，坐标为（2，-），

∴点D的坐标为（2，）或（2，-）．