Question

【题目】用一定数目的点或大小相同的圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形数阵.古希腊著名数学家毕达哥拉斯用数，，，，，……这些数量的（石子），都成功的排成了等边三角形数阵..

（问题提出）结果等于多少？

在图1所示的等边三角形数阵中，前行有个圆圈，前行有个圆圈，即，前行有个圆圈，即，…，则前行所有圆圈个数总和为

将图1旋转至图2，观察这两个三角形数阵中同一行圆圈个数（如第行的圆圈个数分别为个，个），发现同一行圆圈个数之和均为___________个，由此可得两个图前行圆圈个数总和为：___________，因此，___________.

（问题延伸）结果等于多少？

图3

图4

在图3所示的等边三角形数阵中，第行圆圈中的数为，即，第行两个圆圈中数字的和为.即…，第行个圆圈中数字的和为（共个）.即.这样，该三角形数阵中所有圆圈中数字的和为.

将该三角形数阵经两次旋转可得如图4所示的三个三角形数阵，观察这三个三角形数阵中各行同一位置上圆圈中的数字（如第行的第一个圆圈中的数字分别为，，），发现相同位置上三个圆圈中数字之和均为___________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为：___________，因此，___________.

（规律应用）

根据以上发现，计算：的结果为___________.

Answer 1

【答案】（问题提出）n+1；n（n+1）；；（问题延伸）2n+1； ×（2n+1）；（规律应用）1345.

【解析】

（问题提出）根据图形可发现同一行圆圈个数之和均为（n+1）个，由此可得两个图前行圆圈个数总和为：n（n+1），因此可求出；

（问题延伸）根据材料可得相同位置上三个圆圈中数字之和为++=2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为：×（2n+1），因此变形即可求出；

（规律应用）根据规律即可化简求解.

（问题提出）观察这两个三角形数阵中同一行圆圈个数（如第行的圆圈个数分别为个，个），发现同一行圆圈个数之和均为（n+1）个，由此可得两个图前行圆圈个数总和为： n（n+1），因此，，

故答案为：n+1；n（n+1）；；

（问题延伸）

∵++=2n+1，

∴相同位置上三个圆圈中数字之和为++=2n+1，

∴这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为：×（2n+1），

∴=

故答案为：2n+1； ×（2n+1）；

（规律应用）

=

=

=1345

故答案为：1345.