Question

【题目】如图，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A，B，D三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，已知点G（1，m）在抛物线上，作射线AG，点H为线段AB上一点，过点H作HE⊥y轴于点E，过点H作HF⊥AG于点F，过点H作HM∥y轴交AG于点P，交抛物线于点M，当HEHF的值最大时，求HM的长；

（3）在（2）的条件下，连接BM，若点N为抛物线上一点，且满足∠BMN＝∠BAO，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）2；（3）(1，﹣3)或(﹣，)

【解析】

（1）二次函数经过D（﹣1，0），B（4，0），可以假设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把A（0，﹣2）代入得到a＝即可解决问题．

（2）如图1中，设H（x0，x0﹣2），且（0≤x0≤4），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

（3）如图2中，过点B作BT⊥MN于T．由题意BM＝，BT＝1，MT＝2，设T（m，n），利用两点间距离公式构建方程组求出m，n，再求出直线MN的解析式，构建方程组确定解得N的坐标即可．

解：（1）在y＝x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝4，

∴A（4，0），B（0，﹣2），

∵二次函数经过D（﹣1，0），B（4，0），

∴可以假设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），

把A（0，﹣2）代入得到a＝，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．

（2）如图1中，设H（x0，x0﹣2），且（0≤x0≤4），

∵HE⊥y轴于E，

∴HE＝x0，

∵G（1，m）在抛物线上，

∴G（1，﹣3），

∵A（4，0），

∴直线AG的解析式为y＝x﹣4，

∵HM∥y轴交AG于P，

∴P（x0，x0﹣4），则PH＝（x0﹣2）﹣（x0﹣4）＝﹣x0+2，

由直线AG都是解析式y＝x﹣4，HM∥y轴交AG于P，可得∠HPF＝45°，

∵HF⊥AG于F，

∴HF＝（﹣x0+2），

∴HEHF＝（﹣x0+2）x0＝﹣x02+x0＝﹣（x0﹣2）2+，

∵﹣＜0，0≤x0≤4，

∴当x0＝2时，HEHF的值最大，此时H（2，﹣1），M（2，﹣3），

∴HM＝﹣1﹣（﹣3）＝2．

（3）如图2中，过点B作BT⊥MN于T．

∵∠BMN＝∠BAO，

∴tan∠BMN＝tan∠BAO＝＝，

∴＝，

又∵B（0，﹣2），M（2，﹣3），可得BM＝，BT＝1，MT＝2，

设T（m，n），则解得或，

∴T（0，﹣3）或（，﹣），

∵M（2，﹣3），

∴直线MN的解析式为y＝﹣3或y＝﹣x﹣，

联立得或，

分别解方程组可得或或或，舍弃第二，第四组解，

∴满足条件的点N的坐标为（1，﹣3）或（﹣，）．