Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得线段CQ，连接BP，DQ．

（1）求证：△BCP≌△DCQ；

（2）延长BP交直线DQ于点E．

①如图2，求证：BE⊥DQ；

②若△BCP是等边三角形，请画出图形，判断△DEP的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②作图见解析；△DEP为等腰直角三角形，理由见解析．

【解析】

（1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；

（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；

②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP的形状．

（1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，

∴∠BCP=∠DCQ，

在△BCP和△DCQ中，

，

∴△BCP≌△DCQ；

（2）①如图b，

∵△BCP≌△DCQ，

∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，

∴∠DEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥DQ；

②画图如下，

∵△BCP为等边三角形，

∴∠BCP=60°，

∴∠PCD=30°，又CP=CD，

∴∠CPD=∠CDP=75°，

又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，

∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，

∴△DEP为等腰直角三角形．