Question

已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：

（1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC为等边三角形．

Answer 1

 证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）

∴FA=EC（等量加等量和相等）．

∵△DEF是等边三角形（已知），

∴EF=DE（等边三角形的性质）．

又∵AE=CD（已知），

∴△AEF≌△CDE（SSS）．

 

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），

△DEF是等边三角形（已知），

∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），

∴∠BCA=60°（等量代换），

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，

∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角，

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．

∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．