Question

17．如图，AD为等腰直角三角形ABC斜边BC的中线，折叠△ABC，使AB落在BC上，点A恰好与BC上的点F重合，展开后，折痕BE分别交AC、AD于点E、G，连接GF．有下列四个结论：
①AE=AG；②AE∥GF；③$\frac{AG}{GD}=\sqrt{2}$；④3S_△BGD=S_△BEF
其中正确结论为（　　）

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ①②③
• D． ①②④

Answer 1

分析 由AD为等腰直角三角形ABC斜边BC的中线，得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，根据折叠的性质得AB=BF，AE=EF，∠ABE=∠EBF=22.5°，∠EFB=∠BAC=90°∠AEG=∠FEG于是得到∠AGE=∠BGD=67.5°，求出∠AGE=∠AEG，得到①正确；证得四边形AGFE是菱形，根据菱形的性质得到AE∥GF，故②正确；通过△ABE∽△BDG得到$\frac{AG}{DG}$=$\sqrt{2}$，故③正确；得到$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△BDG}}$=（$\frac{AE}{DG}$）²=2，求得2S_△BGD=S_△ABE故④错误．

解答 解：∵AD为等腰直角三角形ABC斜边BC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，
根据折叠的性质得：AB=BF，AE=EF，∠ABE=∠EBF=22.5°，∠EFB=∠BAC=90°∠AEG=∠FEG，
∴∠AGE=∠BGD=67.5°，
∴∠AEG=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE，故①正确；
∴∠FEG=∠AGE，
∴AG∥EF，
∴四边形AGFE是菱形，
∴AE∥GF，故②正确；
∵∠ABE=∠DBG，∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△BDG，∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{DG}$=$\frac{AG}{DG}$，
∵△ADB是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BD，
∴$\frac{AG}{DG}$=$\sqrt{2}$，故③正确；
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△BDG}}$=（$\frac{AE}{DG}$）²=2，
∴2S_△BGD=S_△ABE
∵S_△ABE=S_△BEF
∴2S_△BGD=S_△BEF，故④错误；
故选C．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．