Question

已知抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点A，与x轴交于B，C（B在y轴左侧）两点，连接AC．
（1）点P为直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥AC于点D，当线段PD最长时，求点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使得∠CAQ=90°-∠PAC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出抛物线与坐标轴交点坐标，进而得出直线AC的解析式y=-x+3作直线L与AC的平行线y=-x+b，由题意，得

y=-x+b y=-x2+2x+3

有唯一解，
求出P点坐标即可；
（2）利用∠CAQ=90°-∠PAC时，则AP⊥AE，再利用∠E′AC=∠EAC进而得出答案．

解答：解：（1）∵-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3  
∴B（-1，0），C（3，0）
∵x=0，y=3
∴A（0，3）设直线AC的解析式y=kx+3  
∴3k+3=0  
解得：k=-1  
故直线AC的解析式y=-x+3作直线L与AC的平行线y=-x+b    
由题意，得

y=-x+b y=-x2+2x+3

有唯一解，
整理，得x²-3x+b-3=0  
△=（-3）²-4（b-3）=0，
解得：b=

21

4

，x₁=x₂=

3

2

，
-x²+2x+3=

15

4

，
 故P（

3

2

，

15

4

）；

（2）设直线AP的解析式为y=mx+3   
则

3

2

m+3=

15

4

，
 解得：m=

1

2

，
故y=

1

2

x+3，
∵AP⊥AQ₁
∴直线AQ₁的解析式为y=-2x+3，
解方程组

y=-x2+2x+3 y=-2x+3

，
得

x=0 y=3

（不合题意）

x=4 y=-5

，
故 Q₁（4，-5），
直线AQ₁交x轴E（

3

2

，0），
过C作CE′⊥x轴，使CE′=CE=

3

2

，
则E′（3，

3

2

），
设直线AE′的解析式为y=ax+3     
故3a+3=

3

2

，
解得：a=-

1

2

，
解方程组

y=-x2+2x+3 y=- 1 2 x+3

解得：

x=0 y=3

（不合题意），

x= 5 2 y= 7 4

，
故Q₂（

5

2

，

7

4

）
综上所述：点Q的坐标为：（4，-5），（

5

2

，

7

4

）．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及二元二次方程组的解法以及平行线以及互相垂直的直线的系数关系等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．