Question

如图，圆M与y轴相切于点C，与x轴交于A（2-

3

，0 ）B（2+

3

，0）两点，D是劣弧

AB

上一点，且弧

AD

=

1

2

BD

，点Q是圆M上一个动点，点N为OQ的中点，连接CN，当点Q在圆M上运动时，CN的最大值为多少？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：作ME⊥x轴于E，连接MC，根据垂径定理，由ME⊥AB得AE=BE=，则OE=OA+AE=2，再根据切线的性质得到MC⊥y轴，所以四边形MEOC为矩形，于是得到MC=OE=2，再连结OM，MQ，K点为OM的中点，连结NK，CK，先根据勾股定理计算出OM=

5

，根据直角三角形斜边上的中线性质得CK=

5

2

，易得NK为△OQM的中位线，则NK=

1

2

QM=1，根据三角形三边的关系得到，当∠CKN=180°时，CN最大，此时CN=CK+NK=

5

2

+1．

解答：解：如图1，作ME⊥x轴于E，连接MC，
∵A（2-

3

，0）、点B（2+

3

，0），
∴AB=2

3

，
∵ME⊥AB，
∴AE=BE=

3

，
∴OE=OA+AE=2-

3

+

3

=2，
∵⊙M与y轴相切于点C，
∴MC⊥y轴，
∴四边形MEOC为矩形，
∴MC=OE=2，
即⊙M的半径为2，
连结OM，MQ，K点为OM的中点，连结NK，CK，如图2，
∵OC=1，MC=2，
∴OM=

12+22

=

5

，
∴CK=

5

2

，
∵N点为OQ的中点，
∴NK为△OQM的中位线，
∴NK=

1

2

QM=1，
∵点Q是⊙M上一个动点，
∴当∠CKN=180°时，CN最大，此时CN=CK+NK=

5

2

+1，即CN的最大值为

5

2

+1．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形的性质；掌握三角形中位线定理和矩形的判定以及性质，题目的综合性较强，对学生的解题能力要求很高．