Question

【题目】如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F．

（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；

（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.

【解析】

（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；

（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．

(1)证明：∵AD∥BC,

∴∠PAF=∠AEB.

∵∠PFA=∠ABE=90°，

∴△PFA∽△ABE.

(2)

若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.

如图，连接PE,DE,

∴PE∥AB.

∴四边形ABEP为矩形.

∴PA=EB=2，即x=2.

如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE,

若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF.

∴PE=PA.

∵PF⊥AE，

∴点F为AE的中点.

∵AE=，

∴EF=AE=.

∵，

∴PE=5，即x=5.

∴满足条件的x的值为2或5.