Question

已知：如图1，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，过点C的直线与x轴交于点A（-2，0），线段AB的垂直平分线MN交x轴于点D．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点E为直线MN上的点，且△ACE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标；
（3）点P从点A出发，沿x轴向右运动，点Q从点B出发，沿x轴向左运动，速度都为每秒1个单位长度，P、Q两点同时出发，当点P到达原点O时，点Q立刻调头并以每秒

3

2

个单位长度的速度向点B方向运动，点P到达点D时，两点停止运动．过点P的直线l⊥x轴，交AC或BC于点G．设点P运动时间为t（秒），△AGQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据条件可先求C点的坐标，再利用待定系数可求得直线AC的解析式；
（2）由题意可设E为（1，y），表示出AE、CE、AC，分AE=CE、AE=AC、和CE=AC三种情况得到关于y的方程，解得y即可得出E点坐标；
（3）分P到达原点之前和过原点之后两种情况，分别用t表示出AQ和PG的长度，可得到S与t的函数关系式，再求其最大值即可．

解答：解：（1）在y=-x+4中，令x=0，y=4，令y=0，x=4，
∴C为（0，4），B为（4，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，把A、C两点坐标代入可得

4=b 0=-2k+b

，
解得

k=2 b=4

，
∴直线AC解析式为：y=2x+4；
（2）∵A（-2，0），B（4，0），
∴D点坐标为（1，0），
设E点坐标为（1，y），则AE²=[1-（-2）]²+y²=9+y²；CE²=1+（y-4）²，
又AC²=AO²+OC²=2²+4²=20，
当△ACE为等腰三角形时，分三种情况：
①当AE=CE时，则AE²=CE²，即9+y²=1+（y-4）²，解得y=1，此时E为（1，1）；
②当AE=AC时，则AE²=AC²，即9+y²=20，解得y=±

11

，此时E为（1，

11

）或（1，-

11

）；
③当CE=AC时，则CE²=AC²，即1+（y-4）²=20，解得y=4±

19

，此时E为（1，4+

19

）或（1，4-

19

）；
综上可知E点坐标为（1，1）或（1，

11

）或（1，-

11

）或（1，4+

19

）或（1，4-

19

）；
（3）当0＜t≤2时，如图1，

∵PG∥OC，
∴

PG

OC

=

AP

AO

，即

PG

4

=

t

2

，解得PG=2t，且AQ=AB-BQ=6-t，
∴S=

1

2

（6-t）2t=-t²+6t，
其对称轴为t=3，当0＜t≤2时，在对称轴左侧，S随t的增大而增大，
∴当t=2时有最大值，最大值为8；
当2≤t≤3时，如图2，

∵∠CBO=45°，
∴PG=PB=6-t，
且AQ=6-[2-

3

2

（t-2）]=1+

3

2

t，
∴S=

1

2

（1+

3

2

t）（6-t）=-

3

4

t²+4t+3，
当t=

8

3

时有最大值，最大值为

25

3

；
综上可知S=

-t2+6t(0≤t≤2) - 3 4 t2+4t+3(2＜t≤3)

，当t=

8

3

时有最大值

25

3

．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的性质、二次函数的最值等知识的综合应用．求出线段得到点的坐标是利用待定系数法的关键，在（2）中分三种情况分别得到关于E点的坐标是解题的关键，在（3）中注意两种不同函数表达式都要求其最值，再取其最大．本题难度适中，注重了基础知识的考查，注意分类讨论思想的应用．