Question

8．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，CA=CB，且∠ACB=2∠ACD．
（}）如图1，求证：AB=2AD；
（2）如图2，当∠DAB=90°时，E为AB边的中点，DE交AC于点F，EG⊥BF于点G，交BC于点M，交DC的延长线于点H，请探究线段MH与EG的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）过C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质得到∠ACE=$\frac{1}{2}∠$ACB，AB=2AE，由已知条件得到∠ACE=∠ACD，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠BAC，推出△ACD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AD=AE，于是得到结论；
（2）连接CE交BF于K，则K为△ABC的重心，设CK=2EK=2x，CE=BE=3x，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB=45°，推出△ACB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到CE⊥AB，AE=CE=BE，根据已知条件得到∠ACD=45°，推出△BEK≌△CEH，根据全等三角形的性质得到EK=CH=x，BK=EH=$\sqrt{10}$x，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{MH}{ME}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{3}$，求得MH=$\frac{1}{4}$EH=$\frac{\sqrt{10}}{4}$x，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）过C作CE⊥AB于E，
∵AC=BC，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}∠$ACB，AB=2AE，
∵∠ACB=2∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
在△ACD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠EAC}\\{AC=AC}\\{∠DCA=∠ECA}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴AB=2AD；

（2）连接CE交BF于K，则K为△ABC的重心，
∴设CK=2EK=2x，CE=BE=3x，
∵∠DAB=90°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CE⊥AB，
∴AE=CE=BE，
∵∠ACB=2∠ACD，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵EG⊥BF，
∴∠CEH=∠EBK，
在△BEK与△CEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECH=∠KEB=90°}\\{BE=CE}\\{∠CEH=∠EBK}\end{array}\right.$，
∴△BEK≌△CEH，
∴EK=CH=x，BK=EH=$\sqrt{10}$x，
∵CH∥BE，∴$\frac{MH}{ME}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{3}$，
∴MH=$\frac{1}{4}$EH=$\frac{\sqrt{10}}{4}$x，
∵△BEG∽△BKH，
∴$\frac{BE}{BK}=\frac{EG}{KE}$，
∴EG=$\frac{2\sqrt{10}X}{10}$，
∴$\frac{MH}{EG}=\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证得△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．