Question

如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．

（1）求证：CF=CH；

（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

 

Answer 1

（1）证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．

在△BCF和△ECH中，，

∴△BCF≌△ECH（ASA），

∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）；

（2）解：四边形ACDM是菱形．

证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，

∴∠1=∠2=45°．

∵∠E=45°，

∴∠1=∠E，

∴AC∥DE，

∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，

又∵∠A=∠D=45°，

∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），

∵AC=CD，

∴四边形ACDM是菱形．

点评： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：

①定义；

②四边相等；

③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．