Question

问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西40°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东80°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/小时的速度各自前进2小时后，在指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，两舰艇与指挥中心之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

Answer 1

考点：全等三角形的应用,方向角

专题：

分析：（1）延长FD到点G．使DG=BE，连结AG，利用“边角边”证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠DAG，然后求出∠EAF=∠GAF，再利用“边角边”证明△AEF≌△AGF，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，再根据GF=DG+DF等量代换即可得证；
（2）连接EF，求出∠EAF=

1

2

∠AOB，延长FB到G，使BG=AE，连接OG，然后与（1）同理可证．

解答：（1）证明：如图1，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，

AD=AE ∠B=∠ADG=90° DG=BE

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF=60°，
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF=60° AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF，
∴EF=BE+DF；

（2）解：如图2，连接EF，
∵∠AOB=40°+90°+（90°-80°）=140°，
∴∠EOF=70°，
∴∠EOF=

1

2

∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAE+∠OBF=（90°-40°）+（80°+50°）=180°，
∴延长FB到G，使BG=AE，连接OG，
在△AOE和△BOG中，

OA=OB ∠OAE=∠OBG=50° BG=AE

，
∴△AOE≌△BOG（SAS），
∴∠AOE=∠BOG，OE=OG，
∴∠EOF=∠GOF=70°，
在△OEF和△OGF中，

OE=OG ∠EOF=∠GOF=70° OF=OF

，
∴△OEF≌△OGF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=BG+BF，
∴EF=AE+BF，
即EF=2×（50+70）=240海里．
答：此时两舰艇之间的距离是240海里．

点评：本题考查了全等三角形的应用，方向角，旋转的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形，然后二次证明三角形全等是解题的关键．