Question

【题目】（问题背景）如图1所示，在中，，，点D为直线上的个动点（不与B、C重合），连结，将线段绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结.

（问题初探）如果点D在线段上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线于F，如图2所示，通过证明______，可推证是_____三角形，从而求得______°.

（继续探究）如果点D在线段的延长线上运动，如图3所示，求出的度数.

（拓展延伸）连接，当点D在直线上运动时，若，请直接写出的最小值.

图1 图2 图3

Answer 1

【答案】（1）△ADB，等腰直角，135°；（2）45°；（3）.

【解析】

（1）问题初探：由旋转的性质得到∠ADE=90°，AD=DE，则∠ADB+∠EDF=∠ADB+∠DAB=90°，得到∠DAB=∠EDF，则根据AAS得到△DEF≌△ADB；则EF=BD，DF=AB，则AB=AC=DF，得到BD=CF=EF，则△CEF是等腰直角三角形；从而得到∠DCE=135°；

（2）继续探究：过点E作EG⊥CD，与（1）同理，可证△ABD≌△DGE，得到BD=GE，AB=DG=BC，则BD=CG=GE，即可得到；

（3）拓展延伸：当点D在直线BC上运动时，当BE⊥CE时，BE的长度是最小值，由（2）可知，则△BCE为等腰直角三角形，则.

解：（1）问题初探：如图，

由旋转的性质，得：∠ADE=90°，AD=DE，

∴∠ADB+∠EDF=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ADB+∠DAB=90°，

∴∠DAB=∠EDF，

∵EF⊥BC，

∴∠ABC=∠DFE=90°，

∴△ADB≌△DEF（AAS）；

∴BD=EF，AB=DF，

∴AB=DF=BC，

∴BD+DC=DC+CF，

∴BD=CF=EF，

∴△CEF是等腰直角三角形；

∴∠CEF=45°，

∴∠DCE=∠CEF+∠CFE=45°+90°=135°；

故答案为：△ADB，等腰直角，135°；

（2）继续探究：如图，过点E作EG⊥CD，

∵∠ADE=∠ADB+∠GDE=90°，∠ADB+∠DAB=90°，

∴∠GDE=∠DAB，

∵∠ABD=∠DGE=90°，AD=DE，

∴△ABD≌△DGE（AAS），

∴BD=GE，AB=DG=BC，

∴BD+BG=BG+GC，

∴CG=BD=GE，

∴△CEG是等腰直角三角形，

∴∠DCE=45°；

（3）拓展延伸：如图，当点D在直线BC上运动时，当BE⊥CE时，BE的长度是最小值；

则∠BEC=90°.

由（2）可知，∠DCE=45°，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴BE=CE，

∵，

∴；

∴BE的最小值为.