Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化，已知⊙M的圆心坐标为（3，2），半径为2，当b=

 

时，直线l与⊙M相切．

Answer 1

考点：切线的判定,一次函数的性质

专题：计算题

分析：先求出直线y=-2x+b与坐标轴的交点A坐标为（0，b），B点坐标为（

b

2

，0），再计算出当直线y=-2x+b过点M时与y轴的交点D的坐标（0，8），如图，作MF⊥AB于F，AE⊥DC于E，根据切线的性质得MF=2，则AE=MF=2，再证明△OAB∽△EDA，利用相似比得到

5 b 2

8-b

=

1 2 b

2

，解得b=8-2

5

，利用直线平移的方法可得当b=8+2

5

时，直线y=-2x+b与⊙M相切．

解答：解：当x=0时，y=-2x+b=b，则A点坐标为（0，b）；当y=0时，-2x+b=0，解得x=

b

2

，则B（

b

2

，0），
所以AB=

OA2+OB2

=

5

2

a，
当直线y=-2x+b过点M时，把M（3，2）代入得-6+b=2，解得b=8，
则直线y=-2x+8与y轴的交点坐标为（0，8），
当AB与⊙M相切时，如图，作MF⊥AB于F，AE⊥DC于E，则AE=MF=2，
∵CD∥AB，
∴△OAB∽△EDA，
∴

AB

AD

=

OB

AE

，即

5 b 2

8-b

=

1 2 b

2

，解得b=8-2

5

，
同样可得当b=8+2

5

时，直线y=-2x+b与⊙M相切．
故答案为8±2

5

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了一次函数性质．