Question

已知，Rt△ABC中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设P、Q分别为AB边、OB边上的动点，它们同时分别从A、O向B匀速移动，速度都为1cm/s，设PQ移动时间为ts（0≤t≤4）．
（1）过点P作PM⊥OA于M，证明：

AM

AO

=

PM

BO

=

AP

AB

，并求出点P的坐标（用t表示）
（2）求△OPQ的面积S（cm²）与移动时间（t）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？求出S的最大值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先证明PM∥OB，再根据相似三角形对应边成比例定理证明即可；利用勾股定理证出AB的长，而AP=t，再根据对应边成比例求出AM，PM的值，从而得出点P的坐标；
（2）根据三角形的面积公式，P点的纵坐标与OQ的长度的积的一半就是△OPQ面积，整理后根据二次函数的最值问题求解即可．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，PM⊥OA，
∴PM∥OB，
∴

AM

AO

=

PM

BO

=

AP

AB

，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴

AM

3

=

PM

4

=

t

5

，
∴PM=

4

5

t，OM=OA-AM=3-

3

5

t，
∴点P的坐标（

4

5

t，3-

3

5

t）；

（2）∵OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=

1

2

×t×（3-

3

5

t）=-

3

10

t²+

3

2

t=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∴当t=

5

2

时，S有最大值，最大值为

15

8

．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、相似三角形对应边成比例定理及三角形的面积公式，关键是根据题意求出点P的坐标．