Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝120°，AB与CD之间的距离是，AB＝28，在AB上取一点E（AE＜BE），使得∠DEC＝120°，则AE＝_____．

Answer 1

【答案】12或24．

【解析】

过点D作DG⊥AB，在AB上截取AF＝AD，可证△ADF为等边三角形，由AB与CD之间的距离是，可求得AD，AF，DF及BC；设AE＝x，证得∠DFE＝∠B，∠FED＝∠BCE，可得△FED∽△BCE，利用相似三角形的性质可得答案．

解：如图，过点D作DG⊥AB，在AB上截取AF＝AD

∵在平行四边形ABCD中，∠B＝120°，

∴∠A＝60°

∴△ADF为等边三角形

∵AB与CD之间的距离是，

∴DG＝，

∴∠ADG＝30°

∴＝sin60°

∴AD＝＝8

∴AG＝FG＝4，DF＝8，BC＝8

设AE＝x，则FE＝x﹣8

∵AB＝28，

∴BE＝28﹣x

∵∠DEC＝120°，∠B＝120°

∴∠FED+∠BEC＝60°，∠BCE+∠BEC＝60°

∴∠FED＝∠BCE

∵△ADF为等边三角形

∴∠AFD＝60°

∴∠DFE＝120°

∴∠DFE＝∠B，∠FED＝∠BCE

∴△FED∽△BCE

∴

∴

解得x1＝12，x2＝24

故答案为：12或24．