Question

【题目】如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．

（1）求证：直线AD是⊙O的切线；

（2）若直径BC＝8，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OA，则得出∠COA＝2∠B＝2∠D＝60°，可求得∠OAD＝90°，可得出结论；
（2）可利用△OAD的面积扇形AOC的面积求得阴影部分的面积．

（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，
∵AD＝AB，∠D＝30°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠COA＝60°，
∴∠OAD＝180°60°30°＝90°，
∴OA⊥AD，
即CD是⊙O的切线；

（2）解：∵BC＝8，
∴OA＝OC＝4，
在Rt△OAD中，OA＝4，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝8，AD＝，
所以S△OAD＝OAAD＝×4×＝，
因为∠COA＝60°，
所以S扇形COA＝，

所以S阴影＝S△OADS扇形COA＝．