Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．

（1）这条抛物线的对称轴是 ， 直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；
（2）若两个三角形面积满足S△POQ= S△PAQ ， 求m的值；
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PDDQ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）2,45°
（2）解：如图

设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ= S△PAQ不成立；

①当点B落在线段OA上时，如图①，

= = ，

由△OBE∽△ABF得， = = ，

∴AB=3OB，

∴OB= OA，

由y=x2﹣4x得点A（4，0），

∴OB=1，

∴B（1，0），

∴1+m=0，

∴m=﹣1；

②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB= OA=2，

∴B（﹣2，0），

∴﹣2+m=0，

∴m=2，

综上，当m=﹣1或2时，S△POQ= S△PAQ

（3）解：①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，

∵∠CDQ=45°+45°=90°，

∴AD⊥PH，

∴DQ=DH，

∴PD+DQ=PH，

过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，

∴PH= PM，

∴当PM最大时，PH最大，

∴当点P在抛物线顶点处时，PM最大，此时PM=6，

∴PH的最大值为6 ，

即PD+DQ的最大值为6 ．

②由①可知：PD+DQ≤6 ，

设PD=a，则DQ ﹣a，

∴PDDQ≤a（6 ﹣a）=﹣a2+6 a=﹣（a﹣3 ）2+18，

∵当点P在抛物线的顶点时，a=3 ，

∴PDDQ≤18．

∴PDDQ的最大值为18．

方法二：

⑴略．

⑵过点A作x轴垂线，与直线PQ交于点D，设直线PQ与y轴交于点C，

∴C（0，m），D（4，4+m），

∵S△POQ= （Qx﹣Px）（QY﹣CY），

S△PAQ= （Qx﹣Px）（DY﹣AY），

∵ ，

∴ ，

∴m1=2，m2=﹣1．

⑶①设P（t，t2﹣4t）（0＜t＜4），

∵KPQ=1，∴lPQ：y=x+t2﹣5t，

∵C（2，2），A（4，0），

∴lAC：y=﹣x+4，

∴DX= ，DY= ，

∴Q（2，t2﹣5t+2），

∵PQ⊥AC，垂足为点D，

∴点Q关于直线AC的对称点Q′（﹣t2+5t+2，2），

欲使PD+DQ取得最大值，只需PQ′有最大值，

PQ′= = ，

显然当t=2时，PQ′的最大值为6 ，

即PD+DQ的最大值为6 ，

②∵（PD+DQ）2≥4PDDQ，

∴PDDQ≤ = =18，

∴PDDQ的最大值为18．

【解析】方法一：

解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，

∴抛物线的对称轴是x=2，

∵直线y=x+m，

∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），

∴交点到原点的距离相等，

∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，

∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，

所以答案是x=2、45°．