Question

12．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=$2\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；
（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值．

解答 解：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．
判断结果：BC是⊙O的切线．
如图2，连接OD． 
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
 即：OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．

（2）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，
∵BD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OBD中，OD²+BD²=OB²，
即r²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-r）²，
解得r=2．
故⊙O的半径是2．

点评 此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．