Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K．
（1）若点M的坐标为（3，4）， ①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．
（2）若 =3，求∠OBA的度数．
（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1）， =y，直接写出y关于x的函数解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：①连接DM、MC，如图1．

∵OM是⊙P的直径，

∴∠MDO=∠MCO=90°．

∵∠AOB=90°，

∴四边形OCMD是矩形，

∴MD∥OA，MC∥OB，

∴ ， ．

∵点M是AB的中点，即BM=AM，

∴BD=DO，AC=OC．

∵点M的坐标为（3，4），

∴OB=2OD=8，OA=2OC=6，

∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）；

②在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，

∴AB= =10．

∴BM= AB=5．

∵∠OBM=∠EBD，∠BOM=∠BED，

∴△OBM∽△EBD，

∴ = ，

∴ = ，

∴BE= ，

∴ME=BE﹣BM= ﹣5=

（2）解：连接DP、PE，如图2．

∵ =3，

∴OK=3MK，

∴OM=4MK，PM=2MK，

∴PK=MK．

∵OD=BD，OP=MP，

∴DP∥BM，

∴∠PDK=∠MEK，∠DPK=∠EMK．

在△DPK和△EMK中，

，

∴△DPK≌△EMK，

∴DK=EK．

∵PD=PE，

∴PK⊥DE，

∴cos∠DPK= = ，

∴∠DPK=60°，

∴∠DOM=30°．

∵∠AOB=90°，AM=BM，

∴OM=BM，

∴∠OBA=∠DOM=30°

（3）解：y关于x的函数解析式为y= ．

提示：连接PD、OE，如图3．

设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，

BM=OM=（y+1）t，DP=PM= ，

PK= ﹣t= ．

由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，

则有 = ，可得ME= t．

∵OM是⊙P的直径，

∴∠OEM=90°，

∴OE2=OM2﹣ME2=[（y+1）t]2﹣[ t]2= （y2﹣2y），

即OE= ，

BE=BM+ME=（y+1）t+ t= ，

∴x=tan∠OBA= = ，

∴x2= =1﹣ ，

整理得：y= ．

【解析】（1）①连接DM、MC，如图1，易证四边形OCMD是矩形，从而得到MD∥OA，MC∥OB，由点M是AB的中点即可得到BD=DO，AC=OC，然后利用点M的坐标就可解决问题；②根据勾股定理可求出AB的长，从而得到BM的长，要求ME的长，只需求BE的长，只需证△OBM∽△EBD，然后运用相似三角形的性质即可；（2）连接DP、PE，如图2，由 =3可得OK=3MK，进而得到OM=4MK，PM=2MK，PK=MK．易证△DPK≌△EMK，则有DK=EK．由PD=PE可得PK⊥DE，从而可得cos∠DPK= = ，则有∠DPK=60°，根据圆周角定理可得∠DOM=30°．由∠AOB=90°，AM=BM可得OM=BM，即可得到∠OBA=∠DOM=30°；（3）连接PD、OE，如图3，设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，BM=OM=（y+1）t，DP=PM= ，PK= ．由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，则有 = ，由此可得ME= t，从而可求得OE= ，BE= ，则有x=tan∠OBA= = ，即x2= =1﹣ ，整理得y= ．
【考点精析】通过灵活运用直角三角形斜边上的中线和勾股定理的概念，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．