Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．

（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？

（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？

（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；（2）所需要的时间为1.2或秒；（3）在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．

【解析】试题分析：（1）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（2）设经过秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，

①若②若然后列方程求解；
（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中， 的长度能否为1cm．

试题解析：(1)经过t秒后，PC=42t，CQ=t，

当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，

即

解得： 或；

∴经过或秒后,△CPQ的面积等于△ABC面积的；

(2)设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，

①若Rt△ABC∽Rt△QPC，则，即，解之得t=1.2；

②若Rt△ABC∽Rt△PQC，则， ，解之得t=；

由P点在BC边上的运动速度为2cm/s,Q点在AC边上的速度为1cm/s,可求出t的取值范围应该为0验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件，所以可知要使△CPQ与△CBA相似,所需要的时间为1.2或秒；

(3)

∵此方程无实数解，

∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm.