Question

5．如图，在?ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（　　）

• A． $\frac{15}{2}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{55}$

Answer 1

分析 先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而得到CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出BE，然后用等腰三角形的三线合一求出BG，最后用勾股定理即可．

解答 解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，
∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，
∵AD=8，
∴DE=4，
∵DC∥AB，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{EF}{EB}$，
∴$\frac{4}{12}=\frac{2}{EB}$，
∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，
∴BG=$\frac{1}{2}$BF=2，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，
根据勾股定理得，CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{15}$，
故选：C．

点评 此题是平行四边形的性质，主要考查了角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是求出AE，记住：题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点．