Question

7．如图，∠ACB=90°，四边形DEFO为正方形，且四个顶点D，E，F，G在三角形ACB的边上．求证：FG²=AG•BF．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到DG=GF=EF，∠DGF=∠EFG=90°，由邻补角的性质得到∠DGA=∠EFB=90°，根据余角的性质得到∠ADG=∠B，推出△ADG∽△BFE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{DG}=\frac{EF}{BF}$，得到DG•EF=AG•BF，等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵四边形DEFG为正方形，
∴DG=GF=EF，∠DGF=∠EFG=90°，
∴∠DGA=∠EFB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ADG=∠A+∠B=90°，
∴∠ADG=∠B，
∴△ADG∽△BFE，
∴$\frac{AG}{DG}=\frac{EF}{BF}$，
∴DG•EF=AG•BF，
∴FG²=AG•BF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．