Question

设x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两个根，则代数式x₁³+2x₂+x₁•x₂的值为

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，再利用x₁是方程x²-x-1=0的根得到x₁²-x₁-1=0，则x₁²=x₁+1，接着变形得到x₁³=2x₁+1，则x₁³+2x₂+x₁•x₂=2（x₁+x₂）+2x₁x₂，然后利用整体代入得方法计算．

解答：解：根据题意得x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
∵x₁是方程x²-x-1=0的根，
∴x₁²-x₁-1=0，
∴x₁²=x₁+1，
∴x₁³=x₁（x₁+1）=x₁²+x₁=x₁+1+x₁=2x₁+1，
∴x₁³+2x₂+x₁•x₂=2x₁+1+2x₂+x₁•x₂=2（x₁+x₂）+2x₁x₂=2×1+2×（-1）=0．
故答案为0．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程解的定义．