Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）判断DF与DE的大小关系，并说明理由；
（2）若BE=8，CF=6，求△DEF的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接AD，首先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，AD=CD=BD，从而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得DCF≌△ADE后即可证得DF=DE；
（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出，进而可求出DE、DF的值，代入S_△EDF=

1

2

DE²进行求解．

解答：解：（1）连接AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△ADE中，

∠C=∠DAE ∠CDF=∠ADE CD=AD

，
∴△DCF≌△ADE（AAS），
∴DF=DE；

（2）解：由（1）知：AE=CF=6，同理AF=BE=8．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=6²+8²=100．
∴EF=10，
又∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，DE²+DF²=EF²=100，
∴DE=DF=5

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×（5

2

）²=25．

点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．